Меню
NEWTONEKINDER

Правила кавасаки

Сложив из квадрата любую фигурку, а затем развернув ее, мы увидим сетку возникших линий сгибов — так называемый паттерн. Существуют ли какие-то закономерности во взаимном положении этих линий?

Впервые четкие правила, работающие при складывании листа в плоскость второго порядка (то есть в нашем случае в плоскую фигурку), сформулировал и доказал японский математик Тошикацу Кавасаки. Давайте познакомимся с этими правилами.

Наметим на квадрате три произвольно расположенные линии так, чтобы они выходили из некой точки на плоскости листа (рис.1) Теперь сложим по ним квадрат так, чтобы получилась плоская фигурка (плоскость второго порядка) (рис.2). Например, она может,

выглядеть так (рис. 3). Раскроем ее до исходного квадрата. Нетрудно заметить, что помимо трех долин на листе теперь образовалась еще и одна линия гора, выходящая из той же точки (рис.4). Все четыре линии делят плоскость на четыре сектора: два — условно нечетных и два — четных 5. Единственно ли положение линии горы, позволяющее сложить квадрат по трем долинам в плоскость второго порядка?

Давайте это проверим и попробуем сложить исходный квадрат по трем намеченным линиям иначе (рис.5). Получилось (см. рис.6)! А что внутри? Снова возникает линия гора, но уже в ином месте (рис.7). Опять пометим четыре сектора. Есть ли между ними и первыми секторами какая-то связь? Прежде чем ответить на этот вопрос, посмотрим, что случится, если линий долин будет не три, а четыре (рис.8).

Прозрачные модели

Прозрачные модели

Сложили (рис.9), теперь развернем. Видно, что в этом случае возникает уже две горы, а секторов становится шесть: три нечетных и три четных (рис.10). Экспериментируя таким образом, можно прийти к следующим выводам, известным как правила Кавасаки:

— Общее число линий, позволяющих согнуть плоскость первого порядка в плоскость второго порядка, всегда четно.

— Разность между числом долин и гор по абсолютной величине всегда равна двум.

— Сумма углов всех нечетных секторов равна сумме углов четных секторов и равняется 180°.

Из второго правила вроде бы следует, что минимальное число линий, позволяющих сложить квадратик в плоскую фигурку, — четыре (три долины и одна гора; если перевернуть квадрат, долины превратятся в горы, но разница между числом разных линий по-прежнему будет равна двум). Однако можно считать, что единственная прямая линия долина делит плоскость на два сектора по 180°, а число гор при этом равно нулю.

Правила Кавасаки действуют только в том случае, если получившаяся из листа фигурка будет плоской. Нарушение этих правил приводит к появлению объемных форм.

Строгим доказательством подобных закономерностей занимается область математики, изучающая наиболее общие свойства объемных тел, — топология.

NEWTONE